编者按：本文来自微信公众号“新智元”（ID：AI_era），来源：quantamagazine，编辑：大明、小芹，36氪经授权发布。

任取一个正整数，如果是偶数，将其除以2。如果是奇数，将其乘以3再加1，然后重复这样的一个过程，最后结果都是1。

这样的一个问题就是著名的“克拉茨猜想”。它几乎能够说是数学史上未解问题中表达形式最简单的一个，也因此成为数学这棵参天大树上最诱人的那颗果实。

不少资深数学家警告称，这样的一个问题简直有毒，堪称魅惑十足的“海妖之歌”：你走进来就再也出不去，再也无力做出其他任何有意义的成果。密歇根大学数学家、克拉茨猜想问题专家Jeffrey Lagarias表示：“这是一个危险的问题，很多人为其如痴如醉，但目前看真的不可能解决。”

但不信邪的人总是有的。陶哲轩就是其中之一，他已经取得了迄今为止在克拉茨猜想问题上走的最远的成果。

9月8日，陶哲轩在个人博客上贴出了一份证明，表明了至少对绝大部分自然数，克拉茨猜想都是正确的。尽管这份证明算不上是完整证明，但已经算是在这个堪称“有毒”的问题上取得的重大进展。

“我没指望能完全解决这样的一个问题，但目前取得的进展已经超出了我的预期。”陶哲轩说。

克拉茨猜想：最简单的“不可能解决”的问题

克拉茨猜想据称是上世纪30年代由德国数学家LotharCollatz提出的。但其具体出处不详，已知的，从西拉古斯大学大学传到贝尔实验室，再到芝加哥大学。因早期有众多的传播者，所以在传播过程中，克拉茨猜想收获了许多名字：3n+1猜想、奇偶归一猜想、乌拉姆(Ulam)问题、角谷猜想等。

其表述形式之简单让它听起来像是聚会上的一个游戏。对于任何一个正整数，如果是奇数，则将其乘以3并加1。如果是偶数，则将其除以2。不断重复这样的一个过程，最后会发生什么？

直觉上看，你可能会觉得最开始的数字不同会影响最终得到的结果。也许某些数字为开端，最后的结果是1，而以另外一些数字为开端，则会趋于无穷大。

但是克拉茨预测并非如此。他推测，如果最开始的数是正整数，重复这样的一个过程的次数足够多，则无论最开始的数是多少，最终结果都将是1。这之后，1成为初始数，会陷入循环：1、4、2 、1、4，2，1……

多年以来，许多人都对克拉兹猜想的表述之简单（该猜想又被称为著名的“ 3x +1问题”）而对这样的一个问题深深着迷。目前，数学家们测试了五百亿个数，结果克拉茨猜想全部是正确的。

“这样的一个问题看上去没有一点理解门槛，你只要知道‘乘以3’和‘除以2’，就可以完全理解。数学家马克·钱伯兰（Marc Chamberland）说，诱人之处正在于此。Chamberland曾经自制了一段关于该问题的YouTube热门视频，称这样的一个问题为“最简单的不可能解决的问题”。

以下是一个克拉茨猜想验证网页，你们可以自己试试。

https:///2019/09/10/almost-all-collatz-orbits-attain-almost-bounded-values/

论文：https://arxiv.org/abs/1909.03562